Puzzle mit großen Flächen ohne Struktur und geringen Farbunterschieden – Best Practice

Es gibt heute Puzzles am Markt mit bis zu 24.000 Teilen. Puzzlespieler berichten übereinstimmend, dass die Lösung eines solchen Puzzles mehr als ½ Jahr dauert. Allerdings waren diese Puzzles viergeteilt, so dass es sich vom Schwierigkeitsgrad also eher um vier Sechstausender-Puzzles handelte. Die Schwierigkeit eines Puzzles ist aber nicht nur von der Anzahl der Teilchen abhängig. Das Motivbild ist ebenso entscheidend. Dieser Aspekt wird gerne unterschätzt und hier beleuchtet.

Abb. 1: MEV Verlag, Augsburg (Puzzle ohne Struktur und ohne Farbunterschiede)

Im Extremfall würde ein Puzzle ohne Struktur und Farbunterschiede wie in Abb. 1 aussehen. Dieses einfache Puzzle hat jedoch den Vorteil, dass es lediglich aus 35 Teilen besteht. Außerdem besteht es aus 20 Randsteinen – also nur 1nnen liegenden Steinen, was die Sache doch erheblich erleichtert.

Beide Motive aus Abb. 2 stammen vom Marktführer Ravensburger und bestehen aus je 1008 Puzzleteilen. Beide Puzzles sind schwierig. Wahrscheinlich würde nur ein Wanderfalke die feinen Unterschiede in den Grüntönen der neuseeländischen Wasserfälle in der Abb. 2 links erkennen.

Abb. 2: Wasserfall Neuseeland (links) und das neue Hannoveraner Rathaus mit blauem Himmel (rechts)

Das rechte Bild, das hier im Folgenden weiter analysiert wird, zeigt das neue Rathaus Hannovers vor strahlend blauem Himmel. Genauer gesagt, bedeckt der Himmel ca. 45 % der gesamten Bildfläche. Die hier in Abb. 3 gezeigte, noch ungelegte, Rathaus-Himmelsfläche macht 38,69 % Prozent der gesamten Bildfläche bzw. ungelegte 390 Puzzleteile aus.

Abb. 3: Stand nach Legen des Randes und der Bildteile mit Strukturunterschieden blieben 390 Puzzleteile to go – 09.06.2018

Die 390 freien Puzzleteile des fehlenden Himmels enthalten in Abb. 3, außer dem Farbton, keine weiteren Strukturen, wie z.B. Wolken oder Turmspitzen, die sich für eine Vorsortierung eigen würden. Die jeweils vordere Zahl in Abb. 3 gibt die Anzahl der Teile an, da an ein Randteil angelegt werden können. Die hintere Zahl benennt die Anzahl der fehlenden Teile je Kessel und insgesamt.

Natürlich kann der Rest des Puzzles jetzt ganz einfach fertiggestellt werden! Unterstellen wir zunächst einfach, dass alle Puzzleteile des Himmels weiß seien und sich in einer großen Kiste befinden (vgl. Abb. 1). Zur Lösung reicht es aus, in der linken oberen Ecke zu beginnen und jedes Teil mit jedem seiner vier Seiten an der entsprechenden Stelle einzupassen. Spätestens nach 390 Teilen wird das erste passende Teil gefunden und die Prozedur kann rechts daneben mit dem 389. Teil fortgesetzt werden, usf. Spätestens nach 304.980 Versuchen (im ungünstigsten Fall) bzw. 152.490 Versuchen (im mittleren Fall) ist die komplette Lösung gefunden. Dies entspricht bei einer durchschnittlichen Dauer von 5 sec pro Stein für das mechanische Ausprobieren einer Gesamtdauer von ca. 100 Tagen bei durchschnittlich 2 Stunden Puzzeln pro Tag. Allerdings wird hier unterstellt, dass es keine Fehlversuche gibt, so dass kein Stein versehentlich, weil er an einer Seite passte, an einer falschen Stelle eingebaut wurde (Fehler der 1. Art).

Abb. 4: Fehler der 1. Art – Teil passt fasst

Solche Fehler und Ihre nachträglichen Korrekturen, können die Puzzledauer in die Höhe treiben. Die geschätzte Lösungsdauer liegt bei dieser Methode also bei 200 Puzzlestunden. Zum Vergleich mit späteren Aufwänden wird dieser Trial-and-Error-Lösungsansatz an Strategie S0 bezeichnet.

Es gibt folgende Strategien, um die Lösung zu beschleunigen. Vorsortieren nach Grundformen (1), Vorsortieren nach Farbton (2) und das Vermeiden von Fehlern (3). Das systematische Zusammenbauen kleinerer Bildteile (Kombi), die sich in das Gesamtbild einbauen lassen, entfällt im Bereich des Himmels als Möglichkeit fast völlig. Zwar wurden etwa 5 Kombiteile mit markanten Merkmalen im Lösungsprozess gefunden.

Abb. 5: Beispiel für ein Kombiteil, das aufgrund der markanten Form des Kopfes gefunden wurde

Diese haben jedoch Nachteil, dass Sie beim Probieren wesentlich schwieriger zu handhaben sind als Einzelteile. Es lohnt sich daher vermutlich nicht, bei Flächen ohne Struktur und geringen Farbunterschieden explizit nach Kombiteilen zu suchen.

Zu empfehlen ist hier entweder die Strategie (S1) „Nimm ein Teil und versuche, ob es an beliebiger Stelle am Rand anzulegen“ oder die Strategie (S2) „Suche eine günstige Stelle am Rand und finde das passende Teil“.

Abb. 6: Puzzleteile Grundformen nach Anzahl der Köpfe (K) – 0K, 1K, 2KD, 2KR, 2KL, 3K und 4K

Die Grundformen der Puzzleteile (Abb. 5) lassen sich nach der Anzahl der Köpfe unterscheiden. Die Tabelle rechts gibt an, wie die Anzahl der Teile unterschiedlicher Form für den Stand in Abb. 3 verteilt sind. Die bei weitem, häufigsten Formen sind die Doppelkopf-Formen (2KD, 2KR und 2KL), die insgesamt 58,97% aller noch zu legenden Teile ausmachen.

Abb. 7: 2KD Form mit diagonal platzierten Köpfen: passt nicht bei Doppelloch-Randform oder Doppelkopf-Randform

Die Form der Puzzleteile schränkt in gewissen Konstellationen die Zulässigkeit eines Puzzleteiles im Lösungsprozess ein.

 

Abb. 8: drei legbare Randteile bei einer Doppelloch-Randform (linkes Bild) nur 40,51% der freien Teile (158) in Abb. 3 können passen

Abb. 9: Legbare Randteile bei einer Doppelkopf-Randform (linkes Bild) nur 38,46% der freien Teile (150) in Abb. 3 können passen

Bei erfolgreicher Anwendung der Suchstrategie S2 in der Ausgangsposition (Abb. 3) ist zunächst von den Andockpunkten in Abb. 10 auszugehen. Lassen sich Doppelkopf Randformen finden (Abb. 9) finden, so erscheinen diese besonders aussichtsreich und versprechen am ehesten kürzere Suchzeiten.

Abb. 10: Alle Andockpunkte mit mindestens zwei Nachbarn aus Abb. 3

Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal bildet der Farbton des Puzzleteiles. Im vorliegenden Himmel lassen sich grob die Töne Gelb-Weiß (Weiß), Hellblau und Mittelblau unterscheiden. Vor allem die Abgrenzung zwischen Mittelblau und Hellblau kann im Einzelfall in den Zwischenbereichen schwierig sein. Alle drei Farbtöne kommen in Abb. 3 im linken und im rechten Kessel vor, so dass es nicht möglich ist, ein Puzzleteil aufgrund seines Farbtones dem linken oder rechten Kessel zuzuordnen. Idealerweise werden die Teile nach Form und Farbe vorsortiert. Es ergibt sich dann folgendes Bild (Abb. 11):

Abb. 11: Puzzleteile des Himmels vorsortiert nach Form (1) und Farbe (2):  Mittel- (208), Hellblau (118) und Weiß-Gelb (64)

Mit bloßen Augen konnten lediglich die Farbgruppen Mittel-, Hellblau und Weiß-Gelb unterschieden werden. Die Anzahl der Puzzleteile Mittel- zu Hellblau zu Weiß-Gelb steht dabei etwa im Verhältnis 53:30:17 und verteilt sich auf dem Bild in gleicher Reihenfolge und in jeweils einer Himmelsebene von unten nach oben (vgl. Abb. 10).

Wahrscheinlich ist es empfehlenswert ist, zunächst den weiß-gelben Himmelsteil (unten) zu legen, da hier die kürzesten Suchzeiten zu erwarten sind. Es handelt sich in Abb. 10 um einen lediglich 3-5 Reihen starken Himmelsstreifen (vgl. Reihe ‚Ø Reihen‘ – Abb. 10), auf den sich die 64 weiß-gelben Puzzleteile verteilen. Das ergibt 8.320 Versuche (im ungünstigsten) und 4.160 Versuche (im mittleren) Fall, um den weißen Bereich komplett zu legen, ohne die Form der Teile dabei zu berücksichtigen. Allerdings berücksichtigt das nicht, dass Teile bei der farblichen Vorsortierung Teile eventuell falsch einsortiert sein könnten.

In den folgenden Schritten wird die Dauer der konkreten Lösung des Puzzles nach entsprechender optimaler Vorsortierung beschrieben. Insbesondere wurde gemessen, wie lange es im Durchschnitt praktisch dauerte, passende Teile nach optimaler Vorsortierung zu finden.

Im oben Bereich von Abb. 12 (mittelblau – oberer freie Zeilen 1-8) dauerte das Auffinden von Teilen in einem unstrukturierten Test nach Strategie S1 zeitweise ca. 30-60 Minuten pro Teil. Diese lange Dauer hängt unmittelbar mit der hohen Anzahl der mittelblauen Teile (209) und der geraden Struktur des Randes zusammen. Der Schwierigkeitsgrad im hellblauen Bereich war daher messbar der Größte.

Abb. 12: Stand 12.06.18

Das Puzzle wurde daher von unten nach oben – hin zum wachsenden Schwierigkeitsgrad – bearbeitet, bis schließlich der Stand vom 16.06. erreicht war.

Abb. 13: Stand 16.06.2018

Nach dem Stand 16.6. (Abb. 13) waren nur noch mittelblaue Teile übrig, so dass eine weitere Unterscheidung durch die Farbe nur noch sehr eingeschränkt möglich war. Wie Abb. 14 zeigt, sank die durchschnittliche Success-Rate (gefundene Teile pro Stunde) nun erwartungsgemäß (!) auf einen relativ niedrigen tiefsten Wert ab (17.06. – 13,12).

Abb. 14: Puzzlefortschritt für den Himmel

nach Datum, zeitlichem Aufwand und Success-Rate (Teile/h).

Danach wuchs sie langsam wieder an, da der Aufwand nur noch direkt von der Anzahl der noch zu legenden Teile abhing. Je kleiner die Kessel werden, desto höher war auch der Anteil der freien Puzzleteile, die direkt irgendwo am Rand angelegt werden konnten. Am Ende des 24.6., also bei Start am 27.7. stieg dieser Anteil auf 64,00 %. M. a. W. nimmt man zufällig ein freies noch zu legendes Teil aus einer Grundgesamtheit von 100 Puzzleteilen, so kann das Teil in 2 von 3 Fällen irgendwo am Rand angelegt werden (S1). Dies führte dazu, dass die Success Rate nun auf 25,65 Teile pro Stunde anstieg (27.7. Abb.14).

Abb. 15: Stand 24.6.2018

Abb. 16: Stand 24.6.2018 II

Nachdem der zweite Kessel beseitigt war, erhöhte sich die Success Rate noch einmal signifikant und stieg auf 36,00 Teile/Stunde.

Nach insgesamt 20 Stunden Puzzlezeit war der Himmel – ausgehend von Abb. 3 – gelegt. Dies wäre nach der eingangs gemachten Schätzung von 200 Stunden für die Trail and Error Strategie S0 quasi eine Verzehnfachung der theoretischen Lösungsgeschwindigkeit. Es lohnt sich also beim Lösen eines Puzzles systematisch vorzugehen. Noch besser erscheint es, bei der Wahl des Puzzles auf das Motiv zu achten.

Die Untersuchung zeigte auch, dass es signifikante individuelle Unterschiede in der Lösungsgeschwindigkeit gibt. Wie aus Tabelle 14 hervorgeht, waren an der Lösung zwei unterschiedliche Puzzler P0 und P1 beteiligt, deren durchschnittliche Lösungsgeschwindigkeit sich bei diesem Experiment unabhängig von der Strategie S0 und S1 um ca. 25 % Prozent unterschied. Dies soll in einem zweiten Artikel untersucht werden.

Autor: Georg

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